“於是我們又得到了一個等式，2k?=q?，同理可得，q為偶數。”

“也就是說，從根號2是有理數這個前提，我們可以推出這樣一個結果，p和q擁有一個共同的因數2，而這違背了最初的假設pq互質，由此可得這個前提條件是錯誤的。”

“根據類似的思路我們還可以證明根號3，根號12是無理數。”

“然後在這裡，我要第一次引入無窮的概念，我現在畫一條線段，這條線段的起點是0，終點是1，也就是它是一段長度為1的有限長的線段。”

“那麼請思考這樣一個問題，如果我要從0走到1，那麼我得先走到0和1的中點1/2，如果我要從0走到1/2，那麼我就需要先走到0和1/2的中點1/4，而這個過程是可以無限繼續下去的，你們看到問題所在了嗎？”

“第二個例子，依舊是這條線段，我把它豎起來，然後我再在它的旁邊畫一條傾斜一點的線段，有點像直角三角形的高和斜邊長，對吧。”

“這兩條線段的長度明顯是不想等的，但是我們可以將上面的點一一對應起來，橫著連線，對，假設，線段是由一個一個可數的點構成的，那麼我們就會得到一個荒謬的結論，也就是這兩條線段是相等的。”

“但是我們知道它們倆是不相等的，所以，我想你們應該已經得出了結論，哪怕是一條有限長的線段上，上面也佈滿了無窮個數，對嗎？”

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